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/ Amiga Plus 1995 #2 / Amiga Plus CD - 1995 - No. 2.iso / internet / faq / englisch / photographiclenses-tutorial < prev    next >
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Text File  |  1995-04-11  |  36.3 KB  |  772 lines

  1. Archive-name: rec-photo/lenses/tutorial
  2. Last-modified 1994/9/22
  3. Version: 1.2
  4.  
  5. Lens Tutorial
  6. by David M. Jacobson
  7. jacobson@hpl.hp.com
  8. Revised September 22, 1994
  9.  
  10. This note gives a tutorial on lenses and gives some common lens
  11. formulas.  I attempted to make it between an FAQ (just simple facts)
  12. and a textbook.  I generally give the starting point of an idea, and
  13. then skip to the results, leaving out all the algebra.  If any part of
  14. it is too detailed, just skip ahead to the result and go on.  
  15.  
  16. It is in 6 parts.  The first gives formulas relating subject and image
  17. distances and magnification, the second discusses f-stops, the third
  18. discusses depth of field, the fourth part discusses diffraction, the
  19. fifth part discusses the Modulation Transfer Function, and the sixth
  20. illumination.  The sixth part is authored by John Bercovitz.  Sometime
  21. in the future I will edit it to have all parts use consistent notation
  22. and format.
  23.  
  24. The theory is simplified to that for lenses with the same medium (eg
  25. air) front and rear: the theory for underwater or oil immersion lenses
  26. is a bit more complicated.
  27.  
  28.  
  29. Subject distance, image distance, and magnification
  30.  
  31. In lens formulas it is convenient to measure distances from a set of
  32. points called "principal points".  There are two of them, one for the
  33. front of the lens and one for the rear, more properly called the
  34. primary principal point and the secondary principal point.  While most
  35. lens formulas expect the subject distance to be measured from the
  36. front principal point, most focusing scales are calibrated to read the
  37. distance from the subject to the film plane.  So you can't use the
  38. distance on your focusing scale in most calculations, unless you only
  39. need an approximate distance.  Another interpretation of principal
  40. points is that a (probably virtual) object at the primary principal
  41. point formed by light entering from the front will appear from the
  42. rear to as a (probably virtual) image at the secondary principal point
  43. with magnification exactly one.
  44.  
  45.  
  46. "Nodal points" are the two points such that a light ray entering the
  47. front of the lens and headed straight toward the front nodal point
  48. will emerge going a straight way from the rear nodal point at exactly
  49. the same angle to the lens's axis as the entering ray had.  The nodal
  50. points are equivalent to the principal points when the front and rear
  51. media are the same, eg air, so for practical purposes the terms can be
  52. used interchangeably.  And again, the more proper terms are primary
  53. nodal point and secondary nodal point.
  54.  
  55. In simple double convex lenses the two principal points are somewhere
  56. inside the lens (actually 1/n-th the way from the surface to the
  57. center, where n is the index of refraction), but in a complex lens
  58. they can be almost anywhere, including outside the lens, or with the
  59. rear principal point in front of the front principal point.  In a lens
  60. with elements that are fixed relative to each other, the principal
  61. points are fixed relative to the glass.  In zoom or internal focusing
  62. lenses the principal points may move relative to the glass and each
  63. other when zooming or focusing.
  64.  
  65. When the lens is focused at infinity, the rear principal point is
  66. exactly one focal length in front of the film.  To find the front
  67. principal point, take the lens off the camera and let light from a
  68. distant object pass through it "backwards".  Find the point where the
  69. image is formed, and measure toward the lens one focal length.  With
  70. some lenses, particularly ultra wides, you can't do this, since the
  71. image is not formed in front of the front element.  (This all assumes
  72. that you know the focal length.  I suppose you can trust the
  73. manufacturers numbers enough for educational purposes.)
  74.  
  75.  
  76. So      subject (object) to front principal point distance.
  77. Si      rear principal point to image distance
  78. f       focal length
  79. M       magnification
  80.  
  81. 1/So + 1/Si = 1/f
  82. M = Si/So 
  83. (So-f)*(Si-f) = f^2
  84. M = f/(So-f) = (Si-f)/f
  85.  
  86. If we interpret Si-f as the "extension" of the lens beyond infinity
  87. focus, then we see that it is inversely proportional to a similar
  88. "extension" of the subject.
  89.  
  90. For rays close to and nearly parallel to the axis (these are called
  91. "paraxial" rays) we can approximately model most lenses with just two
  92. planes perpendicular to the optic axis and located at the principal
  93. points.  "Nearly parallel" means that for the angles involved, theta
  94. ~= sin(theta) ~= tan(theta).  ("~=" means approximately equal.)  These
  95. planes are called principal planes.
  96.  
  97. The light can be thought of as proceeding to the front principal
  98. plane, then jumping to a point in the rear principal plane exactly the
  99. same displacement from the axis and simultaneously being refracted
  100. (bent).  The angle of refraction is proportional the distance from the
  101. center at which the ray strikes the plane and inversely proportional
  102. to the focal length of the lens.  (The "front principal plane" is the
  103. one associated with the front of the lens.  I could be behind the rear
  104. principal plane.)
  105.  
  106.  
  107. Apertures, f-stop, bellows correction factor, pupil magnification
  108.  
  109. We define more symbols
  110.  
  111. D       diameter of the entrance pupil, i.e. diameter of the aperture as
  112.         seen from the front of the lens
  113. N       f-number (or f-stop)  D = f/N, as in f/5.6
  114. Ne      effective f-number (corrected for "bellows factor",
  115.         but not absorption)
  116.  
  117. Light from a subject point spreads out in a cone whose base is the
  118. entrance pupil.  (The entrance pupil is the virtual image of the
  119. diaphragm formed by the lens elements in front of the diaphragm.)  The
  120. fraction of the total light coming from the point that reaches the
  121. film is proportional to the solid angle subtended by the cone.  If the
  122. entrance pupil is distance y in front of the front nodal point, this
  123. is approximately proportional to D^2/(So-y)^2.  (Usually we can ignore
  124. y.)  If the magnification is M, the light from a tiny subject patch of
  125. unit area gets spread out over an area M^2 on the film, and so the
  126. brightness on the film is inversely proportional to M^2.  With some
  127. algebraic manipulation and assuming y=0 it can be shown that the
  128. relative brightness is
  129.  
  130. (D/So)^2/M^2 = 1/(N^2 * (1+M)^2).
  131.  
  132. Thus in the limit as So -> infinity and thus M -> 0, which is the usual
  133. case, the brightness on the film is inversely proportional to the
  134. square of the f-stop, N, and independent of the focal length.
  135.  
  136. For larger magnifications, M, the intensity on the film in is somewhat
  137. less then what is indicated by just 1/N^2, and the correction is
  138. called bellows factor.  The short answer is that bellows factor when
  139. y=0 is just (1+M)^2.  We will first consider the general case when
  140. y != 0.
  141.  
  142. Let us go back to the original formula for the relative brightness on
  143. the film.
  144.  
  145. (D/(So-y))^2/M^2
  146.  
  147. The distance, y, that the aperture is in front of the front nodal
  148. point, however, is not readily measurable.  It is more convenient to
  149. use "pupil magnification".  Analogous to the entrance pupil is the
  150. exit pupil, which is the virtual image of the diaphragm formed by any
  151. lens elements behind the diaphragm.  The pupil magnification is the
  152. ratio of exit pupil diameter to the entrance pupil diameter.
  153.  
  154. p       pupil magnification (exit_pupil_diameter/entrance_pupil_diameter)
  155.  
  156. For all symmetrical lenses and most normal lenses the aperture appears
  157. the same from front and rear, so p~=1.  Wide angle lenses frequently
  158. have p>1, while true telephoto lenses usually have p<1.  It can be
  159. shown that y = f*(1-1/p), and substituting this into the above
  160. equation and carrying out some algebraic manipulation yields that the
  161. relative brightness on the film is proportional to
  162.  
  163. 1/(N^2 ( 1 + M/p)^2)
  164.  
  165. Let us define Ne, the effective f-number, to be an f-number with the
  166. lens focused at infinity (M=0) that would give the same relative
  167. brightness on the film (ignoring light loss due to absorption and
  168. reflection) as the actual f-number N does with magnification M.
  169.  
  170. Ne = N*(1+M/p)
  171.  
  172. An alternate, but less fundamental, explanation of bellows correction
  173. is just the inverse square law applied to the exit pupil to film
  174. distance.  Ne is exit_pupil_to_film_distance/exit_pupil_diameter.
  175.  
  176. It is convenient to think of the correction in terms of f-stops
  177. (powers of two).  The correction in powers of two (stops) is
  178. 2*Log2(1+M/p) = 6.64386 Log10(1+M/p).  Note that for most normal
  179. lenses y=0 and thus p=1, so the M/p can be replaced by just M in the
  180. above equations.
  181.  
  182.  
  183.  
  184. Circle of confusion, depth of field and hyperfocal distance.
  185.  
  186. The light from a single subject point passing through the aperture is
  187. converged by the lens into a cone with its tip at the film (if the
  188. point is perfectly in focus) or slightly in front of or behind the
  189. film (if the subject point is somewhat out of focus).  In the out of
  190. focus case the point is rendered as a circle where the film cuts the
  191. converging cone or the diverging cone on the other side of the image
  192. point.  This circle is called the circle of confusion.  The farther
  193. the tip of the cone, ie the image point, is away from the film, the
  194. larger the circle of confusion.
  195.  
  196. Consider the situation of a "main subject" that is perfectly in
  197. focus, and an "alternate subject point" this is in front of or
  198. behind the subject.
  199.  
  200. Soa     alternate subject point to front principal point distance
  201. Sia     rear principal point to alternate image point distance
  202. h       hyperfocal distance
  203. C       diameter of circle of confusion
  204. c       diameter of largest acceptable circle of confusion
  205. N       f-stop (focal length divided by diameter of entrance pupil)
  206. Ne      effective f-stop Ne = N * (1+M/p)
  207. D       the aperture (entrance pupil) diameter (D=f/N)
  208. M       magnification (M=f/(So-f))
  209.  
  210. The diameter of the circle of confusion can be computed by similar
  211. triangles, and then solved in terms of the lens parameters and subject
  212. distances.  For a while let us assume unity pupil magnification, i.e. p=1.
  213.  
  214. When So is finite
  215. C = D*(Sia-Si)/Sia = f^2*(So/Soa-1)/(N*(So-f))
  216. When So = Infinity, 
  217. C = f^2/(N Soa)
  218.  
  219.     
  220. Note that in this formula C is positive when the alternate image point
  221. is behind the film (i.e. the alternate subject point is in front of
  222. the main subject) and negative in the opposite case.  In reality, the
  223. circle of confusion is always positive and has a diameter equal to
  224. Abs(C).
  225.  
  226. If the circle of confusion is small enough, given the magnification in
  227. printing or projection, the optical quality throughout the system,
  228. etc., the image will appear to be sharp.  Although there is no one
  229. diameter that marks the boundary between fuzzy and clear, .03 mm is
  230. generally used in 35mm work as the diameter of the acceptable circle
  231. of confusion.  (I arrived at this by observing the depth of field
  232. scales or charts on/with a number of lenses from Nikon, Pentax, Sigma,
  233. and Zeiss.  All but the Zeiss lens came out around .03mm.  The Zeiss
  234. lens appeared to be based on .025 mm.)  Call this diameter c.
  235.  
  236. If the lens is focused at infinity (so the rear principal point to film
  237. distance equals the focal length), the distance to closest point that
  238. will be acceptably rendered is called the hyperfocal distance.
  239.  
  240. h = f^2/(N*c)
  241.  
  242. If the main subject is at a finite distance, the closest
  243. alternative point that is acceptably rendered is at at distance
  244.  
  245. Sclose = h So/(h + (So-F))
  246.  
  247. and the farthest alternative point that is acceptably rendered is at
  248. distance
  249.  
  250. Sfar = h So/(h - (So - F))
  251.  
  252. except that if the denominator is zero or negative, Sfar = infinity.
  253.  
  254. We call Sfar-So the rear depth of field and So-Sclose the front depth
  255. field.  
  256.  
  257. A form that is exact, even when P != 1, is 
  258.  
  259. depth of field = c Ne / (M^2 * (1 +or- (So-f)/h1)) 
  260.                = c N (1+M/p) / (M^2 * (1 +or- (N c)/(f M))
  261.  
  262. where h1 = f^2/(N c), ie the hyperfocal distance given c, N, and f
  263. and assuming P=1.  Use + for front depth of field and - for rear depth
  264. of field.  If the denominator goes zero or negative, the rear depth of
  265. field is infinity.  
  266.  
  267. This is a very nice equation.  It shows that for distances short with
  268. respect to the hyperfocal distance, the depth of field is very close
  269. to just c*Ne/M^2.  As the distance increases, the rear depth of field
  270. gets larger than the front depth of field.  The rear depth of field is
  271. twice the front depth of field when So-f is one third the hyperfocal
  272. distance.  And when So-f = h1, the rear depth of field extends to
  273. infinity.  
  274.  
  275. If we frame a subject the same way with two different lenses, i.e.
  276. M is the same both both situations, the shorter focal length lens will
  277. have less front depth of field and more rear depth of field at the
  278. same effective f-stop.  (To a first approximation, the depth of field
  279. is the same in both cases.)
  280.  
  281. Another important consideration when choosing a lens focal length is
  282. how a distant background point will be rendered.  Points at infinity
  283. are rendered as circles of size
  284.  
  285. C =  f M / N
  286.  
  287. So at constant subject magnification a distant background point will
  288. be blurred in direct proportion to the focal length.
  289.  
  290. This is illustrated by the following example, in which lenses of 50mm
  291. and 100 mm focal lengths are both set up to get a magnification of
  292. 1/10.  Both lenses are set to f/8.  The graph shows the circle of
  293. confusions for points as a function of the distance behind the
  294. subject.
  295.  
  296. circle of confusion (mm)    
  297.      #               
  298.      #               *** 100mm f/8
  299.      #               ... 50mm f/8                                             
  300.  0.8 #                                                               *******   
  301.      #                                                      *********          
  302.      #                                             *********                   
  303.      #                                         ****                            
  304.      #                                    *****                                
  305.      #                                ****                                     
  306.  0.6 #                            ****                                         
  307.      #                       *****                                   .......   
  308.      #                    ***                      ..................          
  309.      #                  **            .............                            
  310.  0.4 #              ****     .........                                         
  311.      #           ***     ....                                                  
  312.      #         **   .....                                                      
  313.      #        * ....                                                           
  314.      #      **..                                                               
  315.  0.2 #    **.                                                                  
  316.      #  .*.                                                                    
  317.      # **                                                                      
  318.      #*                                                                        
  319.      *######################################################################   
  320.    0 #                                                                         
  321.              250    500       750     1000     1250    1500     1750     2000  
  322.                    distance behind subject (mm)
  323.  
  324. The standard .03mm circle of confusion criterion is clear down in the
  325. ascii fuzz.  The slope of both graphs is the same near the origin,
  326. showing that to a first approximation both lenses have the same depth
  327. of field.  However, the limiting size of the circle of confusion as
  328. the distance behind the subject goes to infinity is twice as large for
  329. the 100mm lens as for the 50mm lens.
  330.  
  331.  
  332. Diffraction
  333.  
  334. When a beam of parallel light passes through a circular aperture it
  335. spreads out a little, a phenomenon known as diffraction.  The smaller
  336. the aperture, the more the spreading.  The field strength (of the
  337. electric or magnetic field) at angle phi from the axis is
  338. proportional to
  339.  
  340. lambda/(phi Pi R) * BesselJ1(2 phi Pi R/lambda), 
  341.  
  342. where R is the radius of the aperture, lambda is the wavelength of the
  343. light, and BesselJ1 is the first order Bessel function. The power
  344. (intensity) is proportional to the square of this.
  345.  
  346. The field strength function forms a bell-shaped curve, but unlike the
  347. classic E^(-x^2) one, it eventually oscillates about zero.  Its first
  348. zero at 1.21967 lambda/(2 R).  There are actually an infinite number
  349. of lobes after this, but about 86% of the power is in the circle
  350. bounded by the first zero.
  351.  
  352.  
  353.     Relative field strength
  354.  
  355.      ***                                                                       
  356.    1 #  ****                                                                   
  357.      #      **                                                                 
  358.  0.8 #        *                                                                
  359.      #         **                                                              
  360.      #           *                                                             
  361.      #            **                                                           
  362.      #              *                                                          
  363.  0.6 #               *                                                         
  364.      #                *                                                        
  365.      #                 *                                                       
  366.  0.4 #                  *                                                      
  367.      #                   *                                                     
  368.      #                    **                                                   
  369.  0.2 #                      **                                                 
  370.      #                        **                                               
  371.      #                          **                         *****************   
  372.    ###############################*###################*****################### 
  373.      #                             *****        ******                         
  374.      #          0.5         1          1.5******    2         2.5          3   
  375.                                                                                
  376.  
  377.         Angle from axis (relative to lambda/diameter_of_aperture)
  378.  
  379.  
  380. Approximating the diaphragm to film distance as f and making use of
  381. the fact that the aperture has diameter f/N, it follows directly that
  382. the diameter of the first zero of the diffraction pattern is
  383. 2.43934*N*lambda.  Applying this in a normal photographic situation is
  384. difficult, since the light contains a whole spectrum of colors.  We
  385. really need to integrate over the visible spectrum.  The eye has
  386. maximum sensitive around 555 nm, in the yellow green.  If, for
  387. simplicity, we take 555 nm as the wavelength, the diameter of the
  388. first zero, in mm, comes out to be 0.00135383 N.
  389.  
  390. As was mentioned above, the normally accepted circle of confusion for
  391. depth of field is .03 mm, but .03/0.00135383 = 22.1594, so we can
  392. see that at f/22 the diameter of the first zero of the diffraction
  393. pattern is as large is the acceptable circle of confusion.
  394.  
  395. A common way of rating the resolution of a lens is in line pairs per
  396. mm. It is hard to say when lines are resolvable, but suppose that we
  397. use a criterion that the center of the dark area receive no more than
  398. 80% of the light power striking the center of the lightest areas.
  399. Then the resolution is 0.823 /(lambda*N) lpmm.  If we again assume 555
  400. nm, this comes out to 1482/N lpmm, which is in close agreement with
  401. the widely used rule of thumb that the resolution is diffraction
  402. limited to 1500/N lpmm.  However, note that the MTF, discussed below,
  403. provides another view of this subject.
  404.  
  405.  
  406. Modulation Transfer Function
  407.  
  408. The modulation transfer function is a measure of the extent to which a
  409. lens, film, etc., can reproduce detail in an image.  It is the spatial
  410. analog of frequency response in an electrical system.  The exact
  411. definition of the modulation transfer function and the related
  412. optical transfer function varies slightly amongst different
  413. authorities.
  414.  
  415. The 2-dimensional Fourier transform of the point spread function is
  416. known as the optical transfer function (OTF).  The value of this
  417. function along any radius is the fourier transform of the line spread
  418. function in the same direction.  The modulation transfer function is
  419. the absolute value of the fourier transform of the line spread
  420. function.  
  421.  
  422. Equivalently, the modulation transfer function of a lens is the ratio
  423. of relative image contrast divided by relative subject contrast of a
  424. subject with sinusoidally varying brightness as a function of spatial
  425. frequency (e.g. cycles per mm).  Relative contrast is defined as
  426. (Imax-Imin)/(Imax+Imin).  MTF can also be used for film, but since
  427. film has a non-linear characteristic curve, the density is first
  428. transformed back to the equivalent intensity by applying the inverse of
  429. the characteristic curve.
  430.  
  431. For a lens the MTF can vary with almost every conceivable parameter,
  432. including f-stop, subject distance, distance of the point from the
  433. center, direction of modulation, and spectral distribution of the
  434. light.  The two standard directions are radial (also known as
  435. saggital) and tangential.
  436.  
  437. The MTF for an an ideal diffraction-free lens is a constant 1 from 0
  438. to infinity at every point and direction.  For a practical lens it
  439. starts out near 1, and falls off with increasing spatial frequency,
  440. with the falloff being worse at the edges than at the center.  Flare
  441. would make the MTF of a lens be less than one even at zero spatial
  442. frequency.  Adjacency effects in film can make the MTF of film be
  443. greater than 1 in certain frequency ranges.
  444.  
  445. An advantage of the MTF as a measure of performance is that under some
  446. circumstances the MTF of the system is the product (frequency by
  447. frequency) of the (properly scaled) MTFs of its components.  Such
  448. multiplication is always allowed when each step accepts as input
  449. solely the intensity of the output of the previous state, or some
  450. function of that intensity.  Thus it is legitimate to multiply lens
  451. and film MTFs or the MTFs of a two lens system with a diffuser in the
  452. middle.  However, the MTFs of cascaded ordinary lenses can
  453. legitimately be multiplied only when a set of quite restrictive and
  454. technical conditions is satisfied.
  455.  
  456. As an example of some OTF/MTF functions, below are the OTFs of pure
  457. diffraction for an f/22 aperture, and the OTF induced by a .03mm
  458. circle of confusion of a de-focused but otherwise perfect and
  459. diffraction free lens.  (Note that these cannot be multiplied.)
  460.  
  461. Let lambda be the wavelength of the light, and spf the spatial
  462. frequency in cycles per mm.
  463.  
  464. For diffraction the formulas is
  465.  
  466. OTF(lambda,N,spf) = ArcCos(lambda*N*spf) - 
  467.     lambda*N*spf*Sqrt(1-(lambda*N*spf)^2)    if lambda*N*spf <=1
  468.           = 0                 if lambda*N*spf >=1
  469.  
  470. Note that for lambda = 555 nm, the OTF is zero at spatial frequencies
  471. of 1801/N cycles per mm and beyond.
  472.  
  473. For a circle of confusion of diameter C, 
  474.  
  475. OTF(C,spf) = 2 * BesselJ1(Pi C spf)/(Pi C spf)
  476.  
  477. This goes negative at certain frequencies.  Physically, this would
  478. mean that if the test pattern were lighter right on the optical center
  479. then nearby, the image would be darker right on the optical center
  480. than nearby.  The MTF is the absolute value of this function.  Some
  481. authorities use the term "spurious resolution" for spatial frequencies
  482. beyond the first zero.
  483.  
  484. Here is a graph of the OTF of both a .03mm circle of confusion and an
  485. f/22 diffraction limit.
  486.  
  487.   OTF
  488.  
  489.      #
  490.    1 ***
  491.      #..**
  492.      #  ..**
  493.      #    ..*             ***   .03 mm circle of confusion
  494.  0.8 #      .*            ...   555nm f/22 diffraction
  495.      #        *.
  496.      #         *..
  497.      #          * ..
  498.  0.6 #           *  .
  499.      #            *  .
  500.      #             *  ..
  501.      #              *   ...
  502.  0.4 #               *     ..
  503.      #               *       ..
  504.      #                *        ..
  505.      #                *          ...
  506.  0.2 #                 *            ...
  507.      #                  *              ...
  508.      #                   *                ...
  509.      #                    **                 ..      **********
  510.    #########################*##################.*****..........*****........##
  511.      #                       **              ***                    ********
  512.      #          20         40  ***     60****      80         100         120
  513.      #                           ********
  514.      #
  515.                            spatial frequency (cycles/mm)
  516.  
  517.  
  518. Although this graph is linear in both axes, the typical MTF is
  519. presented in a log-log plot.
  520.  
  521.  
  522.  
  523. Illumination  
  524. (by John Bercovitz)
  525.  
  526.             The Photometric System
  527.  
  528.         Light flux, for the purposes of illumination engineering, is
  529. measured in lumens.  A lumen of light, no matter what its wavelength
  530. (color), appears equally bright to the human eye.  The human eye has a
  531. stronger response to some wavelengths of light than to other
  532. wavelengths.  The strongest response for the light-adapted eye (when
  533. scene luminance >= .001 Lambert) comes at a wavelength of 555 nm.  A
  534. light-adapted eye is said to be operating in the photopic region.  A
  535. dark-adapted eye is operating in the scotopic region (scene luminance
  536. </= 10^-8 Lambert).  In between is the mesopic region.  The peak
  537. response of the eye shifts from 555 nm to 510 nm as scene luminance is
  538. decreased from the photopic region to the scotopic region.  The
  539. standard lumen is approximately 1/680 of a watt of radiant energy at
  540. 555 nm.  Standard values for other wavelengths are based on the
  541. photopic response curve and are given with two-place accuracy by the
  542. table below.  The values are correct no matter what region you're
  543. operating in - they're based only on the photopic region.  If you're
  544. operating in a different region, there are corrections to apply to
  545. obtain the eye's relative response, but this doesn't change the
  546. standard values given below.
  547.  
  548. Wavelength, nm   Lumens/watt         Wavelength, nm  Lumens/watt
  549.       400           0.27                600              430
  550.       450          26                   650               73
  551.       500         220                   700                2.8
  552.       550         680
  553.  
  554.     Following are the standard units used in photometry with their 
  555. definitions and symbols.
  556.  
  557.     Luminous flux, F, is measured in lumens.
  558.     Quantity of light, Q, is measured in lumen-hours or lumen-seconds.  
  559. It is the time integral of luminous flux.
  560.     Luminous Intensity, I, is measured in candles, candlepower, or 
  561. candela (all the same thing).  It is a measure of how much flux is flowing 
  562. through a solid angle.  A lumen per steradian is a candle.  There are 4 pi 
  563. steradians to a complete solid angle.  A unit area at unit distance from a 
  564. point source covers a steradian.  This follows from the fact that the 
  565. surface area of a sphere is 4 pi r^2.  
  566.     Lamps are measured in MSCP, mean spherical candlepower.  If you 
  567. multiply MSCP by 4 pi, you have the lumen output of the lamp.  In the case of 
  568. an ordinary lamp which has a horizontal filament when it is burning base 
  569. down, roughly 3 steradians are ineffectual: one is wiped out by inter- 
  570. ference from the base and two more are very low intensity since not much 
  571. light comes off either end of the filament.  So figure the MSCP should be 
  572. multiplied by 4/3 to get the candles coming off perpendicular to the lamp 
  573. filament.  Incidentally, the number of lumens coming from an incandescent 
  574. lamp varies approximately as the 3.6 power of the voltage.  This can be 
  575. really important if you are using a lamp of known candlepower to 
  576. calibrate a photometer.
  577.     Illumination (illuminance), E, is the _areal density_ of incident 
  578. luminous flux: how many lumens per unit area.  A lumen per square foot is 
  579. a foot-candle; a one square foot area on the surface of a sphere of radius 
  580. one foot and having a one candle point source centered in it would 
  581. therefore have an illumination of one foot-candle due to the one lumen 
  582. falling on it.  If you substitute meter for foot you have a meter-candle 
  583. or lux.  In this case you still have the flux of one steradian but now it's 
  584. spread out over one square meter.  Multiply an illumination level in lux by 
  585. .0929 to convert it to foot-candles.  (foot/meter)^2= .0929.  A centimeter-
  586. candle is a phot.  Illumination from a point source falls off as the square 
  587. of the distance.  So if you divide the intensity of a point source in candles 
  588. by the distance from it in feet squared, you have the illumination in foot 
  589. candles at that distance.
  590.     Luminance, B, is the _areal intensity_ of an extended diffuse source 
  591. or an extended diffuse reflector.  If a perfectly diffuse, perfectly 
  592. reflecting surface has one foot-candle (one lumen per square foot) of 
  593. illumination falling on it, its luminance is one foot-Lambert or 1/pi
  594. candles per square foot.  The total amount of flux coming off this 
  595. perfectly diffuse, perfectly reflecting surface is, of course, one lumen per 
  596. square foot.  Looking at it another way, if you have a one square foot 
  597. diffuse source that has a luminance of one candle per square foot (pi times 
  598. as much intensity as in the previous example), then the total output of 
  599. this source is pi lumens.  If you travel out a good distance along the 
  600. normal to the center of this one square foot surface, it will look like a 
  601. point source with an  intensity of one candle.  
  602.     To contrast: Intensity in candles is for a point source while 
  603. luminance in candles per square foot is for an extended source - luminance 
  604. is intensity per unit area.  If it's a perfectly diffuse but not perfectly 
  605. reflecting surface, you have to multiply by the reflectance, k, to find the 
  606. luminance.  
  607.     Also to contrast: Illumination, E, is for the incident or incoming 
  608. flux's areal _density_; luminance, B, is for reflected or outgoing flux's 
  609. areal _intensity_.  In the ideal case of illumination, incoming flux is more 
  610. or less  perpendicular to the surface being illuminated.  But an extended 
  611. source emits light according to the cosine law and a diffuse reflecting 
  612. surface reflects according to the cosine law: the amount of flux emitted 
  613. per unit surface area is proportional to the cosine of the angle between 
  614. the direction in which the flux is being emitted and the normal to the 
  615. emitting surface.  A consequence of this law is that no matter from what 
  616. direction you look at a perfectly diffuse reflecting or emitting surface, 
  617. the luminance on the basis of _projected_ area is the same.  So if you have 
  618. a light meter looking at a perfectly diffuse surface, it doesn't matter 
  619. what the angle between the axis of the light meter and the normal to the 
  620. surface is as long as all the light meter can see is the surface: in any case 
  621. the reading will be the same.
  622.     There are a number of luminance units, but they are in categories:  
  623. two of the categories are those using English units and those using metric 
  624. units.  Another two categories are those which have the constant1/9 built 
  625. into them and those that do not.  The latter stems from the fact that the 
  626. formula to calculate luminance (photometric Brightness), B, from 
  627. illumination (illuminance), E,  contains the factor 1/pi.  To illustrate:
  628.  
  629.         B = (k*E)(1/pi) 
  630.         Bfl = k*E 
  631.  
  632. where:    B = luminance, candles/foot^2
  633.     Bfl = luminance, foot-Lamberts
  634.     k = reflectivity           0<k<1
  635.     E = illuminance in foot-candles (lumens/ foot^2)
  636.  
  637.     Obviously, if you divide a luminance expressed in 
  638. foot-Lamberts by pi you then have the luminance expressed in 
  639. candles /foot^2.  (Bfl/pi=B)
  640.  
  641. Other luminance units are:
  642.                 stilb = 1 candle/square centimeter      sb
  643.                 apostilb = stilb/(pi X 10^4)=10^-4 L    asb
  644.                 nit = 1 candle/ square meter            nt
  645.                 Lambert = (1/pi) candle/square cm       L
  646.  
  647.     Below is a table of photometric units with short definitions.
  648.  
  649.   Symbol      Term                 Unit              Unit Definition
  650.  
  651.     Q      light quantity       lumen-hour          radiant energy 
  652.                                 lumen-second        as corrected for
  653.                                                     eye's spectral response
  654.  
  655.     F      luminous flux        lumen               radiant energy flux
  656.                                                     as corrected for
  657.                                                     eye's spectral response
  658.  
  659.     I      luminous intensity   candle              one lumen per steradian
  660.                                 candela             one lumen per steradian
  661.                                 candlepower         one lumen per steradian
  662.  
  663.     E      illumination            foot-candle         lumen/foot^2
  664.                                 lux                 lumen/meter^2
  665.                                 phot                lumen/centimeter^2
  666.  
  667.     B      luminance            candle/foot^2       see unit def's. above
  668.                                 foot-Lambert   =    (1/pi) candles/foot^2
  669.                                 Lambert        =    (1/pi) candles/centimeter^2
  670.                                 stilb          =    1 candle/centimeter^2
  671.                                 nit            =    1 candle/meter^2
  672.  
  673. Note: A lumen-second is sometimes known as a Talbot.
  674. To review:
  675.  
  676.     Quantity of light, Q, is akin to a quantity of photons except
  677. that here the number of photons is pro-rated according to how bright
  678. they appear to the eye.
  679.     Luminous flux, F, is akin to the time rate of flow of photons except 
  680. that the photons are pro-rated according to how bright they appear to the eye.
  681.     Luminous intensity, I, is the solid-angular density of luminous flux.  
  682. Applies primarily to point sources.
  683.     Illumination, E, is the areal density of incident luminous flux.
  684.     Luminance, B, is the areal intensity of an extended source.
  685.  
  686.  
  687.                Photometry with a Photographic Light Meter
  688.     The first caveat to keep in mind is that the average unfiltered light 
  689. meter doesn't have the same spectral sensitivity curve that the human eye 
  690. does.  Each type of sensor used has its own curve.  Silicon blue cells aren't 
  691. too bad.  The overall sensitivity of a cell is usually measured with a 
  692. 2856K or 2870K incandescent lamp.  Less commonly it is measured with 
  693. 6000K sunlight.
  694.     The basis of using a light meter is the fact that a light meter uses 
  695. the Additive Photographic Exposure System, the system which uses 
  696. Exposure Values:
  697.  
  698.          Ev = Av + Tv = Sv + Bv
  699.  
  700. where:   Ev = Exposure Value
  701.          Av = Aperture Value = lg2 N^2         where N = f-number
  702.          Tv = Time Value = lg2 (1/t)           where t = time in sec.s
  703.          Sv = Speed Value = lg2 (0.3 S)        where S = ASA speed
  704.          Bv = Brightness Value = lg2 Bfl
  705.  
  706. lg2 is logarithm base 2
  707.  
  708. from which, for example:
  709.         Av(N=f/1) = 0
  710.         Tv(t=1 sec) = 0
  711.         Sv(S=ASA 3.125) E 
  712.         Bv( Bfl = 1 foot-Lambert) = 0
  713.  
  714. and therefore:
  715.         Bfl = 2^Bv
  716.         Ev (Sv = 0) = Bv
  717.  
  718.     From the preceeding two equations you can see that if you set the 
  719. meter dial to an ASA speed of approximately 3.1 (same as Sv = 0), when 
  720. you read a scene luminance level the Ev reading will be Bv from which you 
  721. can calculate Bfl.  If you don't have an ASA setting of 3.1 on your dial, just 
  722. use ASA 100 and subtract 5 from the Ev reading to get Bv.  
  723. (Sv@ASA100=5)
  724.  
  725.                          Image Illumination
  726.     If you know the object luminance (photometric brightness), the 
  727. f-number of the lens, and the image magnification, you can calculate the 
  728. image illumination.  The image magnification is the quotient of any linear 
  729. dimension in the image divided by the corresponding linear dimension on 
  730. the object.  It is, in the usual photographic case, a number less than one.  
  731. The f-number is the f-number for the lens when focussed at infinity - this 
  732. is what's written on the lens.  The formula that relates these quantities is 
  733. given below:
  734.  
  735.         Eimage = (t pi B)/[4 N^2 (1+m)^2]
  736. or:        Eimage = (t Bfl)/[4 N^2 (1+m)^2]
  737. where:    Eimage is in foot-candles  (divide by .0929 to get lux)
  738.            t   is the transmittance of the lens (usually .9 to .95 but lower 
  739.                   for more surfaces in the lens or lack of anti-reflection    
  740.                    coatings)
  741.            B   is the object luminance in candles/square foot
  742.            Bfl is the object luminance in foot-Lamberts
  743.            N   is the f-number of the lens
  744.            m   is the image magnification
  745.  
  746. References:
  747. G.E. Miniature Lamp Catalog
  748. Gilway Technical Lamp Catalog
  749. "Lenses in Photography" Rudolph Kingslake Rev.Ed.c1963 A.S.Barnes
  750. "Applied Optics & Optical Engr." Ed. by Kingslake c1965 Academic Press
  751. "The Lighting Primer" Bernard Boylan c1987 Iowa State Univ.
  752. "University Physics" Sears & Zemansky c1955 Addison-Wesley
  753.  
  754.  
  755. Acknowledgements
  756.  
  757. Thanks to John Bercovitz for providing the material on photometry and
  758. illumination.  Thanks to John Bercovitz, donl, and Bill Tyler for
  759. reviewing an earlier version of this file.  I've made extensive
  760. changes since their review, so any remaining bugs are mine, not a
  761. result of their oversight.  All of them told me it was too detailed.
  762. I probably should have listened.
  763.  
  764. Copyright (C) 1993, 1994 David M. Jacobson 
  765.  
  766. Rec.photo.* readers are granted permission to make a reasonable number
  767. electronic or paper copies for their themselves, their friends and
  768. colleagues.  Other publication, or commercial or for-profit use is
  769. prohibited.
  770.  
  771.  
  772.